勉強は嫌い - memotic forgotten

いい加減勉強にも飽きたので、息抜きにトリボナッチ数列の一般項を計算した(時間的に息抜きにはならなかった)。母関数がどうとか。以下めも。

Tribonacci数列は、以下によって定められる数列。
$T_n=T_{n-1}+T_{n-2}+T_{n-3}$
$T_1=1,T_2=1,T_3=2$

手順

各項の値を係数として持つような無限級数を作り(母関数という)、それが満たす条件から収束先を計算し、そうなるような係数を求める。

作業

まず、
$T(x)=%5Csum^{%5Cinfty}_{k=0}{T_kx^k}$
という関数をでっち上げると( $T_0=0$ としておく)、条件から
$T(x)-T_{0}x^0-T_{1}x^1-T_{2}x^2$ $=x^3T(x)$ $+x^2T(x)-T_{0}x^2$ $+xT(x)-T_{0}x^1-T_{1}x^2$
となる。というわけで、
$T(x)=%5Cfrac{x}{1-x-x^2-x^3}$
である。これを無限級数の和として表せれば各項の値が転がり出てくる。
さて、 $T(x)=%5Cfrac{A}{1-ax}+%5Cfrac{B}{1-bx}+%5Cfrac{C}{1-cx}$ として、通分とかしてやると、上記の $T(x)$ との比較から、
$A+B+C=0$
$A(b+c)+B(c+a)+C(a+b)=-1$
$bcA+caB+abC=0$
$a+b+c=1$
$ab+bc+ca=-1$
$abc=1$
を得る。
後半3式と三次方程式の解と係数の関係から、 $a,b,c$ が三次方程式 $x^3-x^2-x-1=0$ の3解であることは容易に判るが、計算すると根号パラダイスなので、余白はあるが書けない。
仕方がないので、残る $A,B,C$ を $a,b,c$ で表すと、前半3式から
$A=%5Cfrac{a}{(a-b)(a-c)}$
$B=%5Cfrac{b}{(b-a)(b-c)}$
$C=%5Cfrac{c}{(c-a)(c-b)}$
となる。
ところで、 $%5Cfrac{A}{1-ax}=%5Csum^{%5Cinfty}_{k=0}{Aa^kx^k}$ であるから、結局
$T(x)=$ $%5Csum^{%5Cinfty}_{k=0}{(Aa^k+Bb^k+Cc^k)x^k}$ となり、
$T_n=Aa^n+Bb^n+Cc^n$
$=%5Cfrac{a^{n+1}}{(a-b)(a-c)}$ $+%5Cfrac{b^{n+1}}{(b-c)(b-a)}$ $+%5Cfrac{c^{n+1}}{(c-a)(c-b)}$
と求まる(ミスが無いか不安)。
wikipediaに載っているのと微妙には異なるけれど、どうやら同値。疲れた。